求根公式法
编辑
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}
x
1
=
−
b
3
a
+
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
+
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
+
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
−
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\color {red}\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}
x
2
=
−
b
3
a
+
−
1
+
3
i
2
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
+
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
+
−
1
−
3
i
2
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
−
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
{\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}
x
3
=
−
b
3
a
+
−
1
−
3
i
2
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
+
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
+
−
1
+
3
i
2
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
−
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
3
{\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}}
红色字体部分为判别式
Δ
{\displaystyle \Delta }
。
当
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
时，方程有一个实根和两个共轭複根；
当
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
时，方程有三个实根：
当
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
=
−
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
=
0
{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=0}
时，方程有一个三重实根；
当
(
b
c
6
a
2
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
)
2
=
−
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
≠
0
{\displaystyle \left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}\neq 0}
时，方程的三个实根中有两个相等；
当
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
时，方程有三个不等的实根。
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}
x
=
−
b
3
a
+
2
3
(
b
2
−
3
a
c
)
3
a
(
−
1
+
3
i
2
)
k
9
a
b
c
−
27
a
2
d
−
2
b
3
+
(
9
a
b
c
−
27
a
2
d
−
2
b
3
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
3
+
(
−
1
+
3
i
2
)
k
9
a
b
c
−
27
a
2
d
−
2
b
3
+
(
9
a
b
c
−
27
a
2
d
−
2
b
3
)
2
−
4
(
b
2
−
3
a
c
)
3
3
3
2
3
a
,
k
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle x=-{{b} \over {3a}}+{{{\sqrt[{3}]{2}}\left(b^{2}-3ac\right)} \over {3a\left({{-1+{\sqrt {3}}i} \over {2}}\right)^{k}}{\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}}}+{{\left({{-1+{\sqrt {3}}i} \over {2}}\right)^{k}}{\sqrt[{3}]{9abc-27a^{2}d-2b^{3}+{\sqrt {\left(9abc-27a^{2}d-2b^{3}\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}} \over {3{\sqrt[{3}]{2}}a}},k=0,1,2}
三角函数解
编辑
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
，其中
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
。
若令
Δ
=
(
−
b
3
27
a
3
−
d
2
a
+
b
c
6
a
2
)
2
+
(
c
3
a
−
b
2
9
a
2
)
3
=
α
2
+
β
3
<
0
{\displaystyle \Delta =\left({\frac {-b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\frac {bc}{6a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}=\alpha ^{2}+\beta ^{3}<0}
，则
x
1
=
−
b
3
a
+
2
−
β
cos
[
arccos
α
(
−
β
)
3
2
3
]
{\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}}{3}}\right]}
x
2
=
−
b
3
a
+
2
−
β
cos
[
arccos
α
(
−
β
)
3
2
+
2
π
3
]
{\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}+2\pi }{3}}\right]}
x
3
=
−
b
3
a
+
2
−
β
cos
[
arccos
α
(
−
β
)
3
2
−
2
π
3
]
{\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+2{\sqrt {-\beta }}\cos \left[{\frac {\arccos {\frac {\alpha }{(-\beta )^{\frac {3}{2}}}}-2\pi }{3}}\right]}
卡尔达诺法
编辑
令
K
{\displaystyle K}
為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根
r
{\displaystyle r}
，然後把方程
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
除以
x
−
r
{\displaystyle x-r}
，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。
在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。
解方程步驟：
把原來方程除以首項係數
a
(
a
≠
0
)
{\displaystyle a\left(a\neq 0\right)}
，得到：
x
3
+
b
′
x
2
+
c
′
x
+
d
′
=
0
{\displaystyle x^{3}+b'x^{2}+c'x+d'=0}
，其中
b
′
=
b
a
{\displaystyle b'={\frac {b}{a}}}
，
c
′
=
c
a
{\displaystyle c'={\frac {c}{a}}}
，
d
′
=
d
a
{\displaystyle d'={\frac {d}{a}}}
。
代換未知項
x
=
z
−
b
′
3
{\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3}}}
，以消去二次項。當展開
(
z
−
b
′
3
)
3
{\displaystyle \left(z-{\frac {b'}{3}}\right)^{3}}
，會得到
−
b
′
z
2
{\displaystyle -b'z^{2}}
這項，正好抵消掉出現於
b
′
(
z
−
b
′
3
)
2
{\displaystyle b'\left(z-{\frac {b'}{3}}\right)^{2}}
的項
b
′
z
2
{\displaystyle b'z^{2}}
。故得：
z
3
+
p
z
+
q
=
0
{\displaystyle z^{3}+pz+q=0}
，其中
p
{\displaystyle p}
和
q
{\displaystyle q}
是域中的數字。
p
=
c
′
−
b
′
2
3
{\displaystyle p=c'-{\frac {b'^{2}}{3}}}
；
q
=
2
b
′
3
27
−
b
′
c
′
3
+
d
′
{\displaystyle q={\frac {2b'^{3}}{27}}-{\frac {b'c'}{3}}+d'}
。
設
u
,
v
{\displaystyle u,v}
滿足
3
u
v
=
−
p
,
u
3
+
v
3
=
−
q
{\displaystyle 3uv=-p,u^{3}+v^{3}=-q}
,則
u
+
v
{\displaystyle u+v}
為解
這個假設的hint如下:
記
z
=
u
+
υ
{\displaystyle z=u+\upsilon }
。前一方程化為
(
u
+
υ
)
3
+
p
(
u
+
υ
)
+
q
=
0
{\displaystyle (u+\upsilon )^{3}+p(u+\upsilon )+q=0}
。
展開：
u
3
+
3
u
2
υ
+
3
u
υ
2
+
υ
3
+
p
u
+
p
υ
+
q
=
0
{\displaystyle u^{3}+3u^{2}\upsilon +3u\upsilon ^{2}+\upsilon ^{3}+pu+p\upsilon +q=0}
。
重組：
(
u
3
+
υ
3
+
q
)
+
(
3
u
υ
2
+
3
u
2
υ
+
p
u
+
p
υ
)
=
0
{\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(3u\upsilon ^{2}+3u^{2}\upsilon +pu+p\upsilon )=0}
。
分解：
(
u
3
+
υ
3
+
q
)
+
(
u
+
υ
)
(
3
u
υ
+
p
)
=
(
u
3
+
υ
3
+
q
)
+
z
(
3
u
υ
+
p
)
=
0
{\displaystyle (u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+(u+\upsilon )(3u\upsilon +p)=(u^{3}+\upsilon ^{3}+q)+z(3u\upsilon +p)=0}
。
設
U
=
u
3
{\displaystyle U=u^{3}}
和
V
=
υ
3
{\displaystyle V=\upsilon ^{3}}
。我們有
U
+
V
=
−
q
{\displaystyle U+V=-q}
和
U
V
=
−
p
3
27
{\displaystyle UV=-{\frac {p^{3}}{27}}}
因為
U
V
=
(
u
υ
)
3
=
(
−
p
3
)
3
{\displaystyle UV=(u\upsilon )^{3}=(-{\frac {p}{3}})^{3}}
。所以
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
是輔助方程
X
2
+
q
X
−
p
3
27
=
0
{\displaystyle \mathrm {X} ^{2}+q\mathrm {X} -{\frac {p^{3}}{27}}=0}
的根(韋達定理)，可代一般二次方程公式得解。
接下來，
u
{\displaystyle u}
和
v
{\displaystyle v}
是
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
的立方根，適合
u
v
=
−
p
3
{\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}
，
z
=
u
+
v
{\displaystyle z=u+v}
，最後得出
x
=
z
−
b
′
3
{\displaystyle x=z-{\frac {b'}{3}}}
。
在域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
裡，若
u
0
{\displaystyle u_{0}}
和
v
0
{\displaystyle v_{0}}
是立方根，其它的立方根就是
ω
u
0
{\displaystyle \omega u_{0}}
和
ω
2
u
0
{\displaystyle \omega ^{2}u_{0}}
，當然還有
ω
v
0
{\displaystyle \omega v_{0}}
和
ω
2
v
0
{\displaystyle \omega ^{2}v_{0}}
，其中
ω
=
e
2
i
π
3
=
−
1
+
3
i
2
{\displaystyle \omega =e^{\frac {2i\pi }{3}}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}
，是1的一个复数立方根。
因為乘積
u
v
=
−
p
3
{\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}
固定，所以可能的
(
u
,
v
)
{\displaystyle (u,v)}
是
(
u
0
,
v
0
)
{\displaystyle (u_{0},v_{0})}
，
(
ω
u
0
,
ω
2
v
0
)
{\displaystyle (\omega u_{0},\omega ^{2}v_{0})}
和
(
ω
2
u
0
,
ω
v
0
)
{\displaystyle (\omega ^{2}u_{0},\omega v_{0})}
。因此三次方程的其它根是
ω
u
0
+
ω
2
v
0
−
b
′
3
{\displaystyle \omega u_{0}+\omega ^{2}v_{0}-{\frac {b'}{3}}}
和
ω
2
u
0
+
ω
v
0
−
b
′
3
{\displaystyle \omega ^{2}u_{0}+\omega v_{0}-{\frac {b'}{3}}}
。
判别式
编辑
最先嘗試解的三次方程是實係數（而且是整數）。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
裡，就是
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
的代數閉包。其中差異出現於
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。
可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式
Δ
=
q
2
4
+
p
3
27
{\displaystyle \Delta ={\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}
，
若
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
，方程有一个实根和两个共轭複根；
若
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
，方程有三个实根：当
q
2
4
=
−
p
3
27
=
0
{\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}=-{\frac {p^{3}}{27}}=0}
时，方程有一个三重实根；当
q
2
4
=
−
p
3
27
≠
0
{\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}=-{\frac {p^{3}}{27}}\neq 0}
时，方程的三个实根中有两个相等；
若
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
，方程有三个不等的实根：
x
1
=
2
Q
cos
θ
3
−
b
3
a
,
x
2
,
3
=
2
Q
cos
θ
±
2
π
3
−
b
3
a
,
{\displaystyle x_{1}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta }{3}}-{\frac {b}{3a}},x_{2,3}=2{\sqrt {Q}}\cos {\frac {\theta \pm 2\pi }{3}}-{\frac {b}{3a}},}
其中
θ
=
arccos
R
Q
Q
,
Q
=
−
p
3
,
R
=
q
2
{\displaystyle \theta =\arccos {\frac {R}{Q{\sqrt {Q}}}},Q=-{\frac {p}{3}},R={\frac {q}{2}}}
（注意，由於此公式應對於
x
3
+
p
x
=
q
{\displaystyle x^{3}+px=q}
的形式，因此這裡的
q
{\displaystyle q}
實際上是前段的
−
q
{\displaystyle -q}
，應用時務必注意取負號即
R
=
−
q
2
{\displaystyle R=-{\frac {q}{2}}}
）。
注意到实系数三次方程有一實根存在，這是因為非常數多項式在
+
∞
{\displaystyle +\infty }
和
−
∞
{\displaystyle -\infty }
的極限是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號，又因为多項式是連續函數，所以從介值定理可知它在某點的值為0。
第一個例子
编辑
解
2
t
3
+
6
t
2
+
12
t
+
10
=
0
{\displaystyle 2t^{3}+6t^{2}+12t+10=0}
。
我們依照上述步驟進行：
t
3
+
3
t
2
+
6
t
+
5
=
0
{\displaystyle t^{3}+3t^{2}+6t+5=0}
（全式除以
2
{\displaystyle 2}
）
設
t
=
x
−
1
{\displaystyle t=x-1}
，代換：
(
x
−
1
)
3
+
3
(
x
−
1
)
2
+
6
(
x
−
1
)
+
5
=
0
{\displaystyle (x-1)^{3}+3(x-1)^{2}+6(x-1)+5=0}
，再展開
x
3
+
3
x
+
1
=
0
{\displaystyle x^{3}+3x+1=0}
。
x
=
u
+
v
{\displaystyle x=u+v}
，
U
=
u
3
{\displaystyle U=u^{3}}
，
V
=
v
3
{\displaystyle V=v^{3}}
。設
U
+
V
=
−
1
{\displaystyle U+V=-1}
和
U
V
=
−
1
{\displaystyle UV=-1}
。
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
是
X
2
+
X
−
1
=
0
{\displaystyle X^{2}+X-1=0}
的根。
U
=
−
1
−
5
2
{\displaystyle U={\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}
和
V
=
−
1
+
5
2
{\displaystyle V={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}
，
u
=
−
1
−
5
2
3
{\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}}
和
v
=
−
1
+
5
2
3
{\displaystyle v={\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}}
。
t
=
x
−
1
=
u
+
v
−
1
{\displaystyle t=x-1=u+v-1}
，
=
−
1
−
5
2
3
+
−
1
+
5
2
3
−
1
≈
−
1.3221853546
{\displaystyle ={\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {5}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {5}}}{2}}}-1\approx -1.3221853546}
该方程的另外两个根：
t
2
≈
−
0.838907
+
1.75438
i
{\displaystyle t_{2}\approx -0.838907+1.75438i}
，
t
3
≈
−
0.838907
−
1.75438
i
{\displaystyle t_{3}\approx -0.838907-1.75438i}
，
第二个例子
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这是一个历史上的例子，因为它是邦别利考虑的方程。
方程是
x
3
−
15
x
−
4
=
0
{\displaystyle x^{3}-15x-4=0}
。
从函数
x
↦
x
3
−
15
x
−
4
{\displaystyle x\mapsto x^{3}-15x-4}
算出判别式的值
Δ
=
−
13068
<
0
{\displaystyle \Delta =-13068<0}
，知道这方程有三实根，所以比上例更容易找到一个根。
前两步都不需要做，做第三步：
x
=
u
+
v
{\displaystyle x=u+v}
，
U
=
u
3
{\displaystyle U=u^{3}}
，
V
=
v
3
{\displaystyle V=v^{3}}
。
U
+
V
=
4
{\displaystyle U+V=4}
和
U
V
=
125
{\displaystyle UV=125}
。
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
是
X
2
−
4
X
+
125
=
0
{\displaystyle X^{2}-4X+125=0}
的根。这方程的判别式已算出是负数，所以只有实根。很吊诡地，这方法必须用到复数求出全是实数的根。这是发明复数的一个理由：复数是解方程必需工具，即使方程或许只有实根。
我们解出
U
=
2
−
11
i
{\displaystyle U=2-11{\mathrm {i} }}
和
V
=
2
+
11
i
{\displaystyle V=2+11{\mathrm {i} }}
。取复数立方根不同于实数，有两种方法：几何方法，用到辐角和模（把辐角除以3取模的立方根）；代数方法，分开复数的实部和虚部：
现设
u
=
a
+
b
i
{\displaystyle u=a+b{\mathrm {i} }}
。
u
3
=
2
−
11
i
{\displaystyle u^{3}=2-11{\mathrm {i} }}
等价于：
a
3
−
3
a
b
2
=
2
{\displaystyle a^{3}-3ab^{2}=2}
（实部）
3
a
2
b
−
b
3
=
−
11
{\displaystyle 3a^{2}b-b^{3}=-11}
（虚部）
a
2
+
b
2
=
5
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=5}
（模）
得到
a
=
2
{\displaystyle a=2}
和
b
=
−
1
{\displaystyle b=-1}
，也就是
u
=
2
−
i
{\displaystyle u=2-{\mathrm {i} }}
，而
v
{\displaystyle v}
是其共轭：
v
=
2
+
i
{\displaystyle v=2+{\mathrm {i} }}
。
归结得
x
=
u
+
v
=
(
2
−
i
)
+
(
2
+
i
)
=
4
{\displaystyle x=u+v=(2-{\mathrm {i} })+(2+{\mathrm {i} })=4}
，可以立时验证出来。
其它根是
x
′
=
j
(
2
−
i
)
+
j
2
(
2
+
i
)
=
−
2
+
3
{\displaystyle x'=j(2-{\mathrm {i} })+j^{2}(2+{\mathrm {i} })=-2+{\sqrt {3}}}
和
x
″
=
j
2
(
2
−
i
)
+
j
(
2
+
i
)
=
−
2
−
3
{\displaystyle x''=j^{2}(2-{\mathrm {i} })+j(2+{\mathrm {i} })=-2-{\sqrt {3}}}
，其中
j
=
−
1
+
3
i
2
{\displaystyle j={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}
。
当
Δ
{\displaystyle \Delta }
是负，
U
{\displaystyle U}
和
V
{\displaystyle V}
共轭，故此
u
{\displaystyle u}
和
v
{\displaystyle v}
也是（要适当选取立方根，记得
u
v
=
−
p
3
{\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}}}
）；所以我们可确保
x
{\displaystyle x}
是实数，还有
x
′
{\displaystyle x'}
和
x
″
{\displaystyle x''}
。
盛金公式法
编辑
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
,
a
≠
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,a\neq 0}
，其中系数皆为实数。
判别式
编辑
重根判别式：
A
=
b
2
−
3
a
c
,
B
=
b
c
−
9
a
d
,
C
=
c
2
−
3
b
d
{\displaystyle A=b^{2}-3ac,\ B=bc-9ad,\ C=c^{2}-3bd}
；
总判别式：
Δ
=
B
2
−
4
A
C
{\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}
。
情况1：
A
=
B
=
0
{\displaystyle A=B=0}
编辑
x
1
=
x
2
=
x
3
=
−
b
3
a
=
−
c
b
=
−
3
d
c
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}={\frac {-b}{3a}}={\frac {-c}{b}}={\frac {-3d}{c}}}
。
情况2：
Δ
>
0
{\displaystyle \Delta >0}
编辑
让
y
1
,
2
=
A
b
+
3
a
(
−
B
±
B
2
−
4
A
C
2
)
{\displaystyle y_{1,2}=Ab+3a\left({\frac {-B\pm {\sqrt {B^{2}-4AC}}}{2}}\right)}
，得：
x
1
=
−
b
−
(
y
1
3
+
y
2
3
)
3
a
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b-\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right)}{3a}}}
；
x
2
=
−
2
b
+
(
y
1
3
+
y
2
3
)
+
3
(
y
1
3
−
y
2
3
)
i
6
a
{\displaystyle x_{2}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right)+{\sqrt {3}}\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}-{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right){\rm {i}}}{6a}}}
；
x
3
=
−
2
b
+
(
y
1
3
+
y
2
3
)
−
3
(
y
1
3
−
y
2
3
)
i
6
a
{\displaystyle x_{3}={\frac {-2b+\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right)-{\sqrt {3}}\left({\sqrt[{3}]{y_{1}}}-{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\right){\rm {i}}}{6a}}}
。
情况3：
Δ
=
0
{\displaystyle \Delta =0}
编辑
让
k
=
B
A
(
A
≠
0
)
{\displaystyle k={\frac {B}{A}}\ (A\neq 0)}
，得：
x
1
=
−
b
a
+
k
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b}{a}}+k}
；
x
2
=
x
3
=
−
k
2
{\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {-k}{2}}}
。
情况4：
Δ
<
0
{\displaystyle \Delta <0}
编辑
让
t
=
2
A
b
−
3
a
B
2
A
A
(
A
>
0
,
−
1
<
t
<
1
)
,
θ
=
arccos
t
{\displaystyle t={\frac {2Ab-3aB}{2A{\sqrt {A}}}}\ (A>0,-1 ，得： x 1 = − b − 2 A cos θ 3 3 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b-2{\sqrt {A}}\cos {\frac {\theta }{3}}}{3a}}} ； x 2 = − b + A ( cos θ 3 + 3 sin θ 3 ) 3 a {\displaystyle x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {A}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}+{\sqrt {3}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)}{3a}}} ； x 3 = − b + A ( cos θ 3 − 3 sin θ 3 ) 3 a {\displaystyle x_{3}={\frac {-b+{\sqrt {A}}\left(\cos {\frac {\theta }{3}}-{\sqrt {3}}\sin {\frac {\theta }{3}}\right)}{3a}}} 。